تاریخ هندسه نااقلیدسی

 نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی نخستین کسی بود که در سال ۱۸۲۹ مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر ساخت. هنگامی که اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بیشتر به این علت که به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی که آن را می خواندند، سخت خرده گیری می کردند. وی در سال ۱۸۴۰ مقاله ای به زبان آلمانی منتشر کرد که مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه ای به ه. ک. شوماخر از آن مقاله ستایش کرد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تکرار کرد. لوباچفسکی هندسه اش را در آغاز «هندسه انگاری» و بعد «هندسه عام» نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی که منتشر کرد به طور کامل بسط داد. لوباچفسکی علنا با تعلیمات و اصول عقاید کانت درباره فضا، به مثابه شهود ذهنی، به مبارزه برخاست و در سال ۱۸۳۵ نوشت: 

                                   به ادامه ی مطلب بروید...    

«تلاش های بی ثمری که از زمان اقلیدس تاکنون صورت گرفته است... این بدگمانی را در من برانگیخت که حقیقت... در داده ها وجود ندارد و برای اثبات آن مثل مورد قوانین دیگر طبیعت کمک های تجربی، مثلا مشاهدات نجومی نیاز است.» اریک تمپل بل در کتاب «مردان ریاضیات» لوباچفسکی را «آزادکننده بزرگ» و «کپرنیک دانش هندسه» نام داده است. بل می گوید نام او باید برای هر بچه مدرسه ای به اندازه نام های میکل آنژ یا ناپلئون آشنا باشد. بدبختانه از لوباچفسکی در دوران حیاتش تجلیل نشد. و در حقیقت در ۱۸۴۶ به رغم بیست سال خدمت برجسته ای که با عنوان استاد و رئیس انجام داده بود، از دانشگاه قازان اخراج شد. او مجبور شد در سال پیش از مرگش، به علت نابینایی آخرین کتابش را تقریر کند تا برایش بنویسند. ● هندسه هذلولی تا وقتی که مکاتبات گاوس، پس از مرگ او در ۱۸۵۵، منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسه نااقلیدسی را جدی نگرفته بود. هنوز هم تا سال ۱۸۸۸ لوئیس کارول به هندسه نااقلیدسی می خندید برخی از بهترین ریاضیدانان بلترامی، کیلی، کلاین، پوانکاره، کلیفور و ریمان موضوع را جدی گرفتند، بسط دادند، روشن کردند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات، به ویژه در نظریه توابع مختلط به کار بردند. در ۱۸۶۸ ریاضیدان ایتالیایی «ائوجنیو بلترامی» برای آخرین بار مسئله اثبات اصل توازی را پیش کشید و ثابت کرد که اثبات آن غیرممکن است او این کار را از این راه که هندسه نااقلیدسی درست همچون هندسه اقلیدسی، دستگاهی است سازگار، اثبات کرد. در هندسه نااقلیدسی، نقیض اصل توازی را به عنوان اصل موضوع مفروض می گیریم. یعنی این گزاره را که «از یک نقطه خارج از یک خط راست بیش از یک نقطه می توان به موازات آن رسم کرد» به جای اصل موضوع توازی اقلیدس قرار می دهیم. این امر به هندسه حیرت انگیزی منجر می شود که با هندسه اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گاوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند. ولی تفکر پیگیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آنها نیست، مثلا، سه زاویه مثلث تا بخواهید می توانند کوچک شوند به شرطی که اضلاع آن به اندازه کافی بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هیچ گاه نمی تواند از حد معینی زیادتر شود و در واقع هیچ گاه هم نمی تواند به آن برسد. گاوس در نامه تاریخی خود به دوست ریاضیدانش «تاورینوس» می گوید: «همه تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا یک ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شکست انجامیده است. چیزی که در آن با ادراک ما مغایرت دارد این است که اگر راست باشد، باید در فضای آن یک اندازه خطی وجود داشته باشد که خود به خود معین است اگر چه ما آن را نمی دانیم... هرگاه این هندسه نااقلیدسی راست باشد و بتوان آن مقدار ثابت را با همان کمیاتی که به هنگام اندازه گیری هایمان بر روی زمین و در آسمان بدان ها برمی خوریم، مقایسه کنیم آن گاه ممکن است آن مقدار ثابت را پس از تجربه تعیین کرد. در نتیجه، من گاهی به شوخی آرزو کرده ام که هندسه اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.» در هندسه هذلولی می توان ثابت کرد که اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت دیگر ملاک «ززز» برای قابلیت انطباق درست است در این هندسه، هندسه هذلولی ممکن نیست مثلثی را بدون انداختن از شکل طبیعی بزرگ یا کوچک کرد. در نتیجه در یک جهان هذلولی، عکاسی ذاتا جنبه فراواقعگرایی سوررئالیستی پیدا خواهد کرد یک نتیجه تکان دهنده قضیه مذکور این است که در هندسه هذلولی یک پاره خط می تواند به کمک یک زاویه مشخص شود. یعنی یک زاویه از یک مثلث متساوی الساقین، طول یک ضلع را به طور منحصر به فرد معین می سازد. همان طور که در نامه گاوس به تاورینوس نیز ذکر گردید، اغلب با بیان اینکه هندسه هذلولی واحد مطلق طول دارد، این نکته را هیجان انگیزتر می کنند. اگر هندسه جهان مادی هندسه هذلولی بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداری شود. در هندسه اقلیدسی، تقسیم هر زاویه به سه قسمت برابر، به وسیله ستاره خط کش غیرمدرج و پرگار تنها، نشدنی است. در هندسه هذلولی، علاوه بر آنکه این تقسیم نشدنی است، تقسیم هر پاره خط به سه قسمت برابر نیز به وسیله ستاره و پرگار تنها، نشدنی است در هندسه اقلیدسی، رسم چهارضلعی منتظمی که مساحت آن برابر مساحت دایره مفروضی باشد، شدنی نیست ولی در هندسه هذلولی این کار شدنی است. هندسه های نا اقلیدسی الف) «هندسه بهترین و ساده ترین منطق ها و مناسب ترین طریق پایدار ساختن اندیشههاست.» «دکتر فضل الله رضا» علم هندسه مانند همه ی علوم دیگر از مشاهده و تجربهناشی شده و ارتباط جدی با احتیاجات اقتصادی بشر دارد. کلمه ی «هندسه» یک کلمه ییونانی و به معنی مساحی(اندازه ی زمین) است. هندسه و مفاهیم آن از طرفی زاییده یتجربه و احتیاج بشرند و از طرف دیگر درستی آن باز هم در صحنه ی علوم علمی موردآزمایش و استفاده قرار می گیرد. باور مردم از زمان یونانیان باستان تا قرننوزدهم این بود که هندسه ی اقلیدسی، حقیقت محض و بی کاستی است که فضای مادی را بطورکامل توجیه می کند. حتی کانت اعتقاد داشت که هندسه ی اقلیدسی، ذاتی ساختار ذهنانسان است…اما هندسه دانهای قرن نوزدهم نشان دادند که اولا هندسه ی اقلیدسی تنهاهندسه ی ممکن نیست، ثانیا این که هندسه فضای مادی اقلیدسی یا نا اقلیدسی است، امریتجربی است که خارج از حیطه ی ریاضیات محض می باشد و ثالثا هندسه ی اقلیدسی سازگارتراست، اگر و فقط اگر هندسه ی نااقلیدسی سازگار باشد یعنی این دو هندسه به بیانینادقیق«به یک نسبت درستند.» ب) تاریخچه ی پیدایش هندسه ی نااقلیدسی در حدودسیصد سال قبل از میلاد، اقلیدس کتاب «مقدمات» خود را به رشته ی تحریر در آورد، اوبر اساس پنچ اصل موضوع و تعدادی اصطلاح اولیه تمام هندسه ی شناخته شده تا زمان خودرا بصورت دستگاهمند و به روش اصل موضوعی در کتابش ذکر کرد. یکی از اصل های اقلیدسکه بیشتر از همه توجه ریاضیدانان را بخود جلب کرد، اصل پنجم این کتاب بود. اقلیدساین اصل را که به «اصل توازی» معروف شده است این طور بیان می دارد: «اگر خطی دوخط را چنان قطع کند که مجموع زوایای داخلی کتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خطهمدیگر را در همان طرف قطع می کنند.» که بعدها معادل آن یعنی:«از هر نقطه خارجیک خط راست، تنها یک خط راست موازی با آن خط و در همان صفحه ی مفروض میتوان رسمکرد.» تنظیم شد. تلاش برای اثبات این اصل براساس چهار اصل دیگربه بیش از بیست قرنانجامید و در این مدت بنظر می رسید که هندسه با بن بست مواجه شده است. در واقع ازهمان زمان که کتاب مقدمات اقلیدس نوشته شد، بحث و تفسیر درباره ی آن آغاز گشت، اینبحث ها از دو جهت بود: ۱) برطرف کردن ابهام هایی که در«تعریف ها»، «اصل ها» و «قضیه ها» وجود داشت. ۲) بحث درباره ی اصل توازی. اما با وجود اینکهدانشمندان برای اثبات دقیق این اصل با عدم موفقیت های فراوان مواجه شده بودند، بازهم دست از کوشش بر نداشتند دلیل آن این بود که علمای هندسه اعتقاد داشتند که بدونروشن کردن موقعیت این اصل نمی توان ساختمان هندسه را بطور دقیق و کامل انجام داد،این تلاش ها سرانجام به کشف هندسه های نااقلیدسی منجر شد. می گویند اولین کسی کهبه استقلال اصل پنجم یا به گفته ی کایزر «مشهورترین تک سخن در تاریخ علم» شک کرد،خود اقلیدس بود. بعد از او بطلمیوس (حدود ۱۵۰ سال پیش از میلاد) برای اثبات آنبرخاست. پرودوکلوس نیز در قرن پنجم شرحی بر کتاب اصول نوشت و ضمن نشان دادن اشتباهبرهان های قبلی، تلاش کرد تا اثباتی در این زمینه ارائه کند. بعد از آن شاهداثبات های دیگری بودیم که هیچ یک به نتیجه ی مطلوب نرسیدند. از جمله دانشمندانایرانی که برای اثبات این اصل تلاش کرد میتوان به خیام، خواجه نصیر الدین طوسی،نیریزی و ابن هیثم اشاره نمود. خیام در مقاله ی اول کتاب خود با نام«شرح ما اشکلمن مصادرات کتاب اقلیدس» به مساله ی اصل توازی پرداخت. او میگوید:«اشتباهدانشمندان سابق در این است که بنیان های فلسفی را در نظر نمی گیرند…». او که سختطرفدار عقاید کانت بود منظور از عقاید فلسفی را همان عقاید کانت میداند و بداناشاره می کند. دانشمندان اروپایی نیز برای اثبات این اصل تلاش های در خور توجهیکردند کسانی همانند: جان والیس و جیرولاموساکری. ساکری در ۱۶۹۷ کتابی با عنوان «اقلیدس مبرا از هر نقص» را ارائه کرد که در آن برای اثبات اصل پنجم که بیشتر به یکقضیه شبیه بود تا اصل، از روش برهان خلف استفاده کرد و سعی کرد تا به تناقض برسد،اما در واقع او هرگز به تناقضی نرسید. شاید اگر ساکری میدانست که به این دلیل سادهبه تناقض نمی سد که اصلا تناقضی در کار نیست، کشف هندسه های اقلیدسی نزدیک به یکقرن زودتر صورت می پذیرفت. اندکی بعد و در قرن ۱۸ و در آلمان لامبرت مانند ساکریبا استفاده از برهان خلف سعی کرد اصل توازی را اثبات کند اما او نیز به تناقضینرسید و در رده ی اثبات کننده گان ناکام این اصل قرار گرفت. چنین می نماید که ویدریافته بود که دلایل علیه بیشتر پی آمد سنت ها و احساسات بودند. او معتقد بود ایندلایل از نوعی بودند که بایستی به یکباره از عرصه ی هندسه و نیز از میدان هر علمیبیرون رانده شود.