چند داستان جالب

          مطالب  جالب زیر از وبلاگ  ( ریاضیات الفبای کتاب آفرینش) انتخاب شده است. 

 

لطفا به ادامه مطلب بروید. 

درخت اسرار آمیز و دو برابر کردن پول

دهقانی در جنگل به یک پیرمرد آشنا برخورد کرد، با هم به گفت و شنود پرداختند. پیرمرد به دهقان گفت: در جنگل درختی را دیده ام که بی اندازه عجیب است،این درخت می تواند به آدم های فقیر یاری برساند.

چه کمکی می کند؟ آیا بیماران را شفا می دهد؟

نه ، کاری به بیماران ندارد بلکه پول هر کس را دو برابر می کند . کیف پول خود را پهلوی آن می گذاری بعد تا صد می شماری آن وقت پولی که در کیف تو بود دو برابر می شود. ویژگی این درخت همین است .

دهقان با اشتیاق پرسید: آیا من هم می توانم امتحان کنم؟

البته که می توانی !!!تنها باید دستمزد بپردازی .

به چه کسی باید بپردازم ؟آیا این دستمزد زیاد است؟

باید به کسی بپردازی که راه را به تو نشان می دهد ، یعنی به من .اما درباره ی مبلغ آن ، می توانیم با هم کنار بیاییم .

چانه زدن آغاز شد . وقتی پیرمرد متوجه شد دهقان پول زیادی ندارد ،موافقت کردند پس از هر بار که پول او دو برابر می شود 120 تومان بپردازد. 

پیرمرد دهقان را به ژرفای جنگل برد مدتی این طرف و آن طرف رفتند و سرانجام پهلوی کنده ی بزرگی که باقی مانده ی یک درخت سرو کهنسال بود، ایستادند. پیرمرد کیف دهقان را از دست او گرفت و آن را زیر برگ های درخت پنهان کرد و تا صد شمرد ، سپس دوباره به سوی کنده ی درخت رفت.دست خود را زیر برگ ها کرد مدتی معطل ماند و بعد کیف را بیرون آورد و به دست دهقان داد.دهقان کیف را باز کرد و دید که در واقع پول ها دو برابر شده است. 120 تومان از پول ها را به پیرمرد داد و از او خواهش کرد بقیه را دوباره پهلوی کنده ی پر برکت پنهان کند.

دوباره تا صد شمردند ، باز هم پیرمرد مدتی خود را کنار کنده ی درخت معطل کرد . سپس کیف را بیرون آورد باز هم پول ها دو برابر شده بود و در نتیجه پیرمرد برای مرتبه ی دوم ، 120 تومان از دهقان گرفت.

کیف را برای بار سوم پهلوی کنده ی درخت گذاشتند پول ها این مرتبه هم دو برابر شد. ولی وقتی دهقان دستمزد قراردادی یعنی 120 تومان را به پیرمرد داد چیزی در کیف باقی نمانده بود .بیچاره در این ماجرا تمام پول خود را از دست داده بود، دیگر پولی نمانده بود که آن را دو برابر کنند و دهقان اندوهگین و ناراحت جنگل را ترک گفت . 

در راه با خود اندیشه کرد و گفت پیرمرد چه بلایی سر من آورد که همه ی پول هایم را از دست دادم،بعد از کمی فکر کردن متوجه شد که پیرمرد کنار کنده ی درخت که معطل می شد مساله ی دو برابر شدن پول ها را حل می کرد، پس از آن که پول کیفم را برای مرتبه ی سوم دو برابر کرد 120 تومان در کیف وجود داشت و این همان پولی است که آخرین بار پیرمرد از من گرفت .
روشن است که پیش از دو برابر شدن آن ،پول داخل کیف من 60=2÷120 تومان بوده است،این 60 تومان بعد از پرداخت 120 تومان دستمزد به پیرمرد (که برای بار دوم پول ها را دو برابر کرده بود)در کیف وجود داشت .بنابراین من پیش از پرداخت 120 تومان به پیرمرد در مرتبه ی دوم 180 تومان پول در کیف داشته ام یعنی پیش از آن 90 تومان داشته ام که اگر 120 تومان دستمزد بار اول را به آن اضافه کنیم پول درون کیف من 210 تومان بوده و درنتیجه من از اول 105 تومان پول داشته ام .

محاسبات را مطابق زیر بر روی کاغذ نوشت و دید درست است و پیرمرد با زیرکی ، تمام پول های او را گرفته است. دهقان به خود قول داد از این به بعد به آن چه دارد قانع باشد و فریب دیگران را نخورد .

محاسبات:

210=2×105

90=120-210

180=2×90

60=120-180

120=2×60

0=120-120

پادشاه چین و وزیر منطقی و ریاضیدان

وزیری در دربار چین معروف به آدم منطقی و راستگو بود. او معتقد بود که همیشه راستگویی برنده کارزار بین انسانهاست. درباریان حسود نزد پادشاه شِکوه کردند که پادشاه همیشه حرف وزیر را گوش می کند.
آن قدر گفتند تا پادشاه بر وزیر خود خشم گرفت و خواست او را بکشد. به وزیر گفت اگر راست گو هستی حرفی بزن تا تو را از مرگ برهاند.
پس به وی چنین گفت: "دستور می دهم یا به چوبه دار آویخته شوی یا با تبر گردنت را بزنند. حال خود بگو با کدام یک از این دو وسیله کشته میشوی؟ اگر راست بگویی با تبر گردنت را می زنند و اگر دروغ بگویی به دار آویخته خواهی شد."

وزیر که منطق دان بود در پاسخ جمله ای بیان کرد که نتوانستند هیچ یک از دو حکم را اجرا کنند.
این جمله چه بود؟
وزیر جمله ای را بیان کرد که تعارض پدید آورد ، یعنی گزاره ای که خود را نفی کند. وی در پاسخ گفت: "مرا به دار خواهید آویخت" .
حال اگر این جمله را راست قبول کنند باید با تبر گردنش را بزنند که در این صورت جمله او دروغ است و باید به دار آویخته شود اما در این صورت راست گفته و... به همین ترتیب اگر جمله وزیر را دروغ قبول کنند باز به تعارض بر می خورند. 

و به این ترتیب پادشاه از کشتن او صرفنظر کرد.

تقسیم هفده شتر

این داستان (البته اگر صحت داشته باشد) از داستانهای جنجالی است. به همین دلیل قبل از شروع ، باید توضیح بدهم!

شراکتی که در این داستان مطرح می شود از اساس دارای اشکال است و خواننده ایی که کمی ریاضیات می داند به درستی متوجه اشکال آن نیز خواهد شد و به همین دلیل هم حضرت علی(ع) متوجه اشکال شراکت آنها شده و برای اینکه به مردم عوام آن دوره موضوع را تفهیم کند راه حلی ابتکاری و جالب ارائه کرده. ضمنا این موضوع را هم در نظر داشته باشید که بالاخره مسئله ایی اتفاق افتاده و باید حل شود! و قطعا حل این مسئله با این روش، به معنی تایید کامل آن از طرف حضرت علی(ع) نیست ولی مهم آن است که آنها با رضایت از تقسیم ، از پیش ایشان بیرون رفته اند، چرا که شرطی برای تقسیم گذاشته بودند.
و توضیح آخر اینکه شما لطفا از دید ریاضی به این داستان نگاه کنید!

در عصر خلافت حضرت علی (ع) سه نفر به طور مشترک مالک هفده شتر بودند. یکی از آنها مالک نصف آنها بود و دومی صاحب ثلث آنها و سومی صاحب یک نهم آنها بود و می خواستند به گونه ای تقسیم کنند که هیچ کدام از شترها کشته نشود. 
برای این کار راهی نیافتند. لذا به حضور امام علی (ع) آمدند و موضوع را بازگو کردند. آن حضرت برای رفع نزاع آنها یک شتر از شتران خود را بر آنها افزود، هجده شتر شدند. نصف آنها (نه شتر) را به صاحب نصف، ثلث آنها (شش شتر) را به صاحب ثلث و یک نهم آنها (دو شتر) را به صاحب یک نهم داد. به این ترتیب علی (ع) هفده شتر را بین آنها تقسیم کرد و شتر خود را برداشت و به بیت المال برگرداند و آنها راضی از محضر علی (ع) بیرون آمدند.

 دوچرخه های ارزان

روزی، پدری به پسرش قول داد که اگر در درس ریاضی نمره‌ی 20 بگیرد، برایش یک دوچرخه می‌خرد. پسر با اشتیاق زیاد تلاش کرد و بالاخره 20 گرفت. با خوشحالی نمره را به پدرش نشان داد و از او خواست تا به قولی که داده بود، عمل کند. امّا پدر که فکر نمی‌کرد پسرش نمره‌ی 20 بگیرد ، پول کافی برای خرید دوچرخه کنار نگذاشته بود و به پسرش گفت: من فقط 10 هزار تومان پول دارم و باید کمی صبر کنی تا بتوانم پول دوچرخه را تهیه کنم. پسر با ناراحتی به دنبال راه ‌حلی می‌گشت تا پدرش زودتر بتواند دوچرخه را تهیه کند. 

روزی در یکی از آگهی‌های تبلیغاتی این مطلب را دید: «دوچرخه با 10 هزار تومان، فقط با پرداخت 10 هزار تومان صاحب یک دوچرخه شوید». با خوشحالی آن را به پدرش نشان داد. 
پدر بعد از خواندن آگهی لبخندی زد و گفت: «از این نوع آگهی‌ها قبلاً خوانده‌ام. کم نیستند کسانی که فریب این تبلیغ‌ها را می‌خورند.»
پسر پرسید: چرا فریب؟
پدر جواب داد: شرایط این آگهی‌ها به این صورت است که: ما 10 هزار تومان به مؤسسه پرداخت می‌کنیم. امّا آن‌ها در ابتدا برای ما دوچرخه نمی‌فرستند بلکه 4 بلیط به ما می‌دهند که باید هر کدام را به قیمت 10 هزار تومان به دیگران بفروشیم و به این ترتیب 40 هزار تومان دیگر جمع کنیم و به مؤسسه تحویل دهیم. بعد از این کار دوچرخه را برای ما می‌فرستند.

شرط دیگری که موسسه برای فعالیت خود گذاشته ، این است که هر شخصی با ارائه ی یک بلیط می تواند 5 بلیط برای فروش از موسسه دریافت کند که می بایست به 5 نفر بفروشد .

پسر گفت: «خُب، مگر چه اشکالی دارد. ما فقط 10 هزار تومان پرداخت می‌کنیم و فروش بلیط ‌ها هم زحمت زیادی ندارد».
پدر گفت: بله، در نگاه اوّل هیچ‌گونه نیرنگی به چشم نمی‌خورد و دوچرخه برای خریدار تنها 10 هزار تومان تمام می‌شود. ولی در حقیقت، همه ی این بازی‌ها بدون تردید یک تقلّب و حقّه‌بازی است. چون پس از مدّتی زمان آن می‌رسد که دارندگان بلیط نمی توانند برای بلیط های خود مشتری پیدا کنند .

پدر ادامه داد : ببین پسرم ! اولین دسته ی خریدار که بلیط های خود را به طور مستقیم از مؤسسه می‌گیرند، تقریباً بدون هیچ زحمتی برای بلیط‌ های خود 4 خریدار پیدا می‌کنند. هر یک از این 4 نفر نیز باید 5 خریدار برای بلیط ‌های خود پیدا کند و آن‌ها را متقاعد کند که این خرید برای آن‌ها سودآور است. فرض می‌کنیم دسته‌ی دوّم نیز موفّق شده و 20 خریدار برای بلیط‌ های خود پیدا می‌کنند. این 20 خریدار باید پس از ارائه ی بلیط های خود به موسسه و تحویل گرفتن 5 بلیط ‌در عوض هر بلیط ،بلیط های خود را به 100 نفر بفروشند. تا به حال فقط 25 نفر توانسته اند دوچرخه‌های خود را دریافت کنند. [چرا؟]

می‌بینیم که در مرحله‌ی هشتم، 62500 نفر و در مجموع 78125 نفر وارد بازی می شوند ولی تنها‌ 15625 نفر آن‌ها دوچرخه دریافت می‌کنند[چرا؟]
و بقیه کسانی هستند که در دست خود بلیط ‌هایی دارند که نمی‌دانند آن‌ها را به چه کسانی بفروشند. 


اگر فرض کنیم در یک شهر پرجمعیت زندگی می‌کنیم و مدت زمانی که همه وارد این بازی شوند، بیش تر است. ولی در نهایت، همه‌ی شهر و یا همه‌ی یک کشور را فرا می‌گیرد. اگر باز هم ادامه دهیم در مرحله‌ی دوازدهم به عدد 39062500 می‌رسیم ، پس در مجموع تا این مرحله 48828125 نفر وارد این بازی می شوند که برابر جمعیت یک کشور بزرگ است . 
مؤسسه مردم را وادار به پرداخت پول کالا می‌کند، در حالی که کالایی دریافت نمی کنند. علاوه بر این، مؤسسه تعداد زیادی کارمند فعال پیدا می‌کند که به طور مجانی برای فروش کالایش تبلیغ می‌کنند و کسانی فریب این آگهی را می‌خورند که نمی‌توانند با محاسبه‌های عددی برای حمایت از منافع خود، در مقابل حقّه‌بازها دفاع کنند. 
پسرم! فکر نمی‌کنی اگر کمی منتظر خرید دوچرخه بمانی ،بهتر است؟ 

نویسنده: صدیقه اسکندری راد

افسانه برج هانوی

ریشه این بازی در یک افسانه است:

در یک افسانه یونانی آمده است که در یکی از کلیساها، راهبه های کلیسا به کار عجیبی مشغول هستند. در آن کلیسا 3 ستون از جنس نقره وجود دارد که بر روی اولین ستون 64 صفحه گرد و از جنس طلا با قطر های مختلف قرارگرفته است و تمام این صفحه های گرد طوری چیده شده اند که صفحه زیرین از صفحه بالایی خود بزرگتر است.

ماموریت راهبه های کلیسا این است که تمام این 64 صفحه را باید به ستون دوم منتقل کنند و برای این انتقال یه شرط مهم گذاشته شده است:
هیچ وقت صفحه بزرگتر نباید روی صفحه کوچکتر قرار بگیرد.

آنها مامور این انتقال شده اند و هرگز از قانون نیز نباید تخطی کنند (نباید صفحه بزرگتر بر روی صفحه کوچکتر قرار بگیرد) البته آنها می توانند از ستون سوم به عنوان کمکی استفاده کنند.

در ابتدا شاید به نظر برسد که این کار بسیار آسان است ولی در افسانه آمده که این راهبه ها کار خود را از ابتدای آفرینش آغاز کرده اند و درست زمانی که کار آنها تمام شود زلزله ای بزرگ رخ خواهد داد و دنیا به آخر خواهد رسید!

عجیب ترین نکته این داستان این است که دانشمندان محاسبه کرده اند اگر قرار باشد کسی اینکار را انجام دهد و برای جابجا کردن هر صفحه فقط یک ثانیه وقت صرف کند نیاز به 5.5 بیلیون سال زمان دارد که این عدد بسیار نزدیک به عددی است که اخترشناسان برای عمر کره زمین تخمین زده اند.

ماجرای فرودگاه

یک شرکت هواپیمایی در آخرین لحظه ، پرواز را متوقف کرد! معلوم شده بود در بین 128 مسافر ، مرد مسلحی وجود دارد که می خواهد هواپیما را برباید. قرار شد مسافران هواپیما برای بازرسی فوری آماده شوند.

در سالن فرودگاه ، دستگاه کنترل کننده ی خاصی وجود داشت که وقتی مسافران از جلوی آن عبور می کردند، بدون هیچ اشتباهی مشخص می کرد که آیا مسافر یک شئ فلزی همراه خود دارد یا نه.

روشن است که می شد با بلندگو به همه ی مسافران اطلاع داد که هر چیز فلزی که در جیب یا ساک دستی خود دارند، بیرون بیاورند و به نوبت از جلوی دستگاه کنترل کننده عبور کنند. ولی وقت کم بود و به همین دلیل نماینده ی شرکت هواپیمایی تصمیم گرفت به جای بازرسی انفرادی، مسافران را به صورت گروهی از جلوی چشم الکترونیک دستگاه کنترل بگذراند.

همه ی مسافران را در مقابل دستگاه به خط کردند و نماینده ی شرکت هواپیمایی مطمئن شد که یکی از مسافران ، مایل نیست یک شئ فلزی را از خود جدا کند. ولی کدام مسافر؟
روشن بود که دستگاه کنترل نمی توانست به این پرسش پاسخ بدهد. نماینده ی شرکت تصمیم گرفت مسافران را به گروه هایی تقسیم کند به نحوی که تا حد امکان از دستگاه کنترل، کم تر استفاده کند:

نماینده ی شرکت هواپیمایی ، مسافران را به 2 گروه مساوی تقسیم می کند (در هر گروه 64 نفر) و از یکی از گروه ها خواهش می کند در مقابل چشم الکترونیک دستگاه قرار بگیرند. اگر علامت خطر دستگاه روشن شد به معنای این است که مرد مسلح در میان همین گروه از مسافران است و در غیر این صورت به معنای آن است که فرد مسلح در میان 64 مسافری است که در "خارج دید" چشم الکترونیک دستگاه قرار دارند.

گروه 64 نفری مسافران را که فرد مسلح در میان آن ها است، به دو گروه مساوی (هر گروه 32 نفر ) تقسیم می کند و از یکی از دو گروه خواهش می کند در مقابل دستگاه بایستند. در این جا هم شبیه حالت قبل مشخص می شود که فرد مسلح در میان کدام گروه قرار دارد.
اگر همین روش تقسیم ادامه پیدا کند، بعد از آزمایش ششم، دو نفر باقی می مانند که طبعا" یکی از آن ها مسلح است. اگر یکی از این دو نفر در برابر دستگاه قرار گیرد، یا چراغ خطر دستگاه روشن می شود یعنی خود او مسلح است و یا چراغ خطر خاموش می ماند، یعنی نفر باقی مانده مسلح است. به این ترتیب، حداکثر 7 آزمایش برای یافتن فرد مسلح لازم است. 

اگر نماینده ی شرکت ، تقسیم به گروه ها را به ترتیب دیگری انجام دهد، ممکن است 7 آزمایش برای پیدا کردن فرد مسلح کافی نباشد. در واقع ، اگر مسافران را به دو گروه نامساوی تقسیم کند، ممکن است که معلوم شود فرد مسلح در میان افرادی است که گروه بزرگ تری را تشکیل می دهند.

مثلا" اگر در آزمایش ششم ، گروه چهار نفری را به دو زیر گروه 3 نفری و یک نفری تقسیم کند و معلوم شود که فرد مسلح در بین افراد زیر گروه 3 نفری است، آن وقت ، ممکن است با یک آزمایش بعدی نتوان فرد مسلح را پیدا کرد و با 7 آزمایش ، کار به پایان نرسد. همیشه تقسیم به دو گروه مساوی مناسب ترین راه است. 

منبع:کتاب 175 مساله ی منطقی 
ترجمه ی: استاد استادان پرویز شهریاری

داستان تصاعد در اعداد و شطرنج

می گویند پادشاهی فرمان داده بود هر کس برایش سرگرمی جذاب و مفرحی بیاورد هر چیزی بخواهد به او خواهد داد. شخصی بازی شطرنج را برای او می برد و پادشاه نیز راضی می شود و قرار می شود هر چه می خواهد به او پاداش بدهند ولی شخص درخواست عجیبی از پادشاه می کند. او می گوید من چیز زیادی نمی خواهم صفحه شطرنج 64 خانه است در خانه اول یک دانه گندم قرار بدهند و در خانه بعدی دو برابر خانه اول گندم قرار دهند و در خانه بعدی دو برابر خانه قبلی همینطور تا خانه آخر و همان مقدار گندم برای من کافی است. 
پادشاه به او می گویید که تو می توانستی چیزی بیشتر از چند کیسه گندم در خواست کنی و او می گوید من به همین مقدار راضی هستم . پادشاه فکر می کند با عجب آدم ساده لوحی طرف است. دستور می دهد این مقدار گندم را محاسبه کنند و به شخص بدهند.
پس از چند روز مسئول انبار گندم خدمت پادشاه می رسد و گزارش می دهد که اگر تمام گندم های کل کشور را جمع کنیم و از همه کشور های همسایه هم قرض بگیریم حتی کفاف بخشی از گندم در خواستی را نمی دهد.

این مثال از عجایب یک تصاعد است که آن قدر بزرگ می شود حتی در ذهن انسان نیز نمی گنجد. جالب است بدانید امروزه محاسبه کرده اند برای اینکه مقدار گندم در خواستی آن شخص کم توقع تامین شود باید تمام سطح کره زمین اعم از خشکی ها و دریاها 5 بار زیر کشت برود.  اعداد دوستدار هم

هنگامی که از فیثاغورث پرسیده شد دوست کیست؟ جواب داد: "کسی که من دیگری است بدان گونه که 220 و 284 هستند."  

مفهوم عبارت بالا از نظر ریاضی چنین است:
مقسوم علیه های 284 به غیر از خودش عبارت اند از: 
1 2 4 71 142 که مجموع آن ها 220 است

و از طرف دیگر مقسوم علیه های 220 به غیر از خودش عبارت اند از: 
1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 که مجموع این ها هم برابر 284 است. 

طرف داران فیثاغورث چنین عددهایی راعددهای دوست دار هم می نامیدند.  

با این که کشف چنین عددهایی برای یونانی ها ساده نبود اما کار مورد علاقه ی آن ها بود. به هر حال کشف این گونه عددها پیشرفت زیادی نداشت . سه زوج دیگر از این عددها به قرار زیر می باشند: 

17296 و 18416 که در سال 1636 میلادی توسط فرما شناسایی شد. (همان فرمای معروف که داستانش رو شنیدید)
و اعداد 9437056 و 9363584 که توسط دکارت ارائه گردید.
و بالاخره 1184 و 1210 که توسط پاگانینی در سال 1867 میلادی معرفی شد. 

سوالی که تاکنون ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول کرده، این است که آیا بی نهایت از این زوج ها وجود دارد یا خیر؟

البته هندی ها عددهای متحابه یا " دوست دار هم " را قبل از فیثاغورث شناخته بودند. هم چنین قسمت هایی از کتاب مقدس را می توان یافت که نشان می دهد یهودی ها چنین عددهایی را مبشر سعادت می دانستند. 

منبع:http://www.forum.microrayaneh.com 

                              باتشکر از وبلاگ جالب ( ریاضیات الفبای کتاب آفرینش)